из видео вообще не понятны параметры чека, которые я и просил.

Нужны данные чека! 

Я ломая глаза разглядел ФН = 8710000105885172 ФД = 80443 ФП = 3785884007, но сервер отвечает "illegal public api usage", видимо не угадал :-)

Также будет полезно время чека, инн и сумма

фотка чека будет очень кстати, либо qr код.

https://yadi.sk/i/K4ZfBmgVzRJhCA

В Вашем случае никакой ошибки нет, т.к. обработка заполняет количество продукции только для тех статей, в который установлен признак количественного учёта.

Зайдите в ваши статьи расходов, где по Вашему не проставляется количество и поставьте галочку, как на картинке.

В видео 00:05 видно что Статья расхода одна и та же у позиций с количеством и без

При установке пришлось поменять версию совместимости на 8.3.10

Далее не проходит логин и пароль, который я только что получил и который проходит в мобильном приложении.

Проверка соединения 

Ответ сервера

Internal exception: Not Found

{АП_ЗагрузкаЧеков Обработка.ЗагрузкаЧеков.Форма.Форма.Форма(31)}: Ошибка при вызове метода контекста (ПрочитатьJSON): Непредвиденный символ при чтении JSON

Внизу

Ошибка: {АП_ЗагрузкаЧеков Обработка.ЗагрузкаЧеков.Форма.Форма.Форма(31)}: Ошибка при вызове метода контекста (ПрочитатьJSON): Непредвиденный символ при чтении JSON. См.Ответ сервера на закладке Настройки. Если timeout - повторите снова.

Что-то подскажите? 

А можно увидеть Ответ сервера на закладке Настройки?

И насчет режима совместимости на 8.3.10 - я что-то пропустил? Вроде как актуальная версия сразу работает как должна?

Скачивал расширение отсюда, пока не поправил версию у расширения ругалась и не запускалось, возможно, даже и не загружалось:

Значение контролируемого свойства не совпадает со значением в расширяемой конфигурации

Пока не поправил, кнопка запуска не появлялась.

Ответ сервера

Internal exception: Not Found
{АП_ЗагрузкаЧеков Обработка.ЗагрузкаЧеков.Форма.Форма.Форма(35)}: Ошибка при вызове метода контекста (ПрочитатьJSON): Непредвиденный символ при чтении JSON

Если ввести не правильный пароль, то сразу пишет, что пользователь или пароль не тот.

Могу вывести переменные, если скажите какие. Пока проверил только ПодготовитьЗаголовки, вроде все корректно формируется.

Что находится в ответе сервера? Сохраните всё в текстовый файл и скидывайте сюда.

см. картинку